テョ球面幾何学の世界が三次元上では球面で表現できるのに対し、それと表裏的な関係にある双曲幾何学の世界が、illust/111608365のような特殊な図形を持ち出してようやく半分だけ表現できるというのが長年腑に落ちなくてモヤモヤしてましたが、ガウス曲率が負であるというのは、最大曲率が正で最小曲率が負の場合に限らず、両方とも純虚数の場合でも実現できるのではないかとふと思って考え、ちょっと腑に落ちたというメモ的なものです。
結局の所、双曲幾何学の世界は、半径が純虚数の球に付随する、虚数の双曲面に相当しそうなのではないかと思います。
絶対に研究され尽くされてる話だろうとは思うものの、案外見当たりませんが、結構重要なアプローチなのではないかなと思います。
ここではちょっと、特殊な距離の考え方をしてます（と言っても、シンプルにピタゴラスの定理を当てはめただけですが）。
通常、紐は曲がれば縮みますが、虚数の方向へ曲がれば逆に伸びるというというイメージです。
図の中の赤丸はどう見ても等間隔には並んでませんが、この虚数の不思議な作用によって、等間隔である事になっている感じです。
双曲線の長さは通常は代数的には求められないとされますが、片方が純虚数の場合、この距離の上では円周の場合と同様、θがそのまま長さとなります。
曲率は通常、二階微分の絶対値で表されるようですが、これも一階微分と二階微分の外積という感じで計算します。
■この考え方をベースに、ようやくポワンカレの円板モデルっぽいものが描けました
・ステレオ投影とポワンカレの円板モデルっぽいの（illust/112356564）
・球面・双曲空間の正平面充填形（illust/112529320）
2023-09-23 15:32:28 +0000