量子きのこ特殊ユニタリかつエルミートな行列の固有値
アライ「フェネック！今日はこれの固有値を計算してみるのだ！」（図1）
フェネック「これはー？」
アライ「”りょうしりきがく”？に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ！さっそくscilabにつっこんでっと・・・」
フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな？」
アライ「だから、固有状態なのだ！」
フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」
アライ「ってことは、これはユニタリなのか！？Aエルミート共役A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ！？ゼロ行列になったのだ！」
フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それはエルミート行列の定義だよー」
アライ「そうなのだ！ユニタリ行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ！A'-int(A)」
フェネック「どうだったー？」
アライ「すごいのだ！こっちもゼロ行列になったのだ！！ってことは、ユニタリかつエルミートということなのだ！」
フェネック「エルミートとユニタリは、数でいうところのどういう雰囲気だったかな？」
アライ「えっと・・・エルミートは実数で、ユニタリは・・・オイラーの公式なのだ！」
フェネック「そうそう、実際、エルミート行列の固有値が全部実数で、ユニタリ行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー？」
アライ「エルミートかつユニタリな行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ！やっぱりフェネックはすごいのだ！」
フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」
アライ「任せるのだ！この文字をscilabにつけてっとdet(A) 1になったのだ！abs(det(A))じゃなくても1になったのだ！すごいのだ！実は特殊ユニタリだったのか！？」
フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー？」
アライ「簡単なのだ！対角要素の和だから、これも1なのだ！すごいのだ！いちざんまいなのだ！」
フェネック「ここから言えることは何かあるかな？」
？？？「待って！ここから導き出される結論は、全部お見通しよ！」
アライ「キリンさんなのだ！こんにちはなのだ。」
フェネック「こんにちはー」
キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると
・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aはエルミートだから、固有値は実数
・Aはユニタリでもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・行列式は1
掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね！！！」
アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ～」
フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ～」
アライ「おおー！その手があったのだ！任せるのだ！
まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。（図2）
2列目に2列目＋4列目を代入して（図3）
それから、2行目に2行目-4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ(図4)
4次の行列に次数が1つ減るから、
1列目に1列目+4列目を代入して(図5)
今度は、3列目に3列目に、(4λ)/(-i4)倍した4列目を足すのだ(図6)
また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。
ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。
それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。(図7)
2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ！無敵の布陣なのだ！ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ！」
フェネック「おおー！λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ～すごいよアライさん！」
アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー！そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ！」
キリン「えっへん！アライさんも、器用だねー」
2017-11-02 23:35:14 +0000