量子きのこスカラーにおける複素単位円に相当する行列をユニタリ行列といいます。
その中で、行列式の絶対値を取るまでもなく行列式そのものが1になるユニタリ行列を「特殊ユニタリ」と呼ぶのですが
これを作るための行列を「生成子」と呼びます。
2次の生成子はパウリ行列、3次の生成子はゲルマン行列とそれぞれ呼ばれていて
オイラーの公式において指数の肩が虚数単位×実数であるように
生成子もまたエルミート行列となるので、固有値は2次のパウリ行列なら2つ、3次のゲルマン行列なら3つ、4次なら4つの実数解となります。
また、固有値を算出するための「特性方程式」は特殊ユニタリの場合、2枚目のようになり
n次の特殊ユニタリの生成子もまたn次の正方行列であり、その特性方程式がn次方程式となり
n-1次の係数がゼロ(トレースがゼロであることにおそらく相当)
n-2次の係数がマイナス1(ノルム(係数の絶対値の2乗の和)が1におそらく相当)
です。
なので、4次の生成子の特性方程式は3枚目のように簡略化され
フェラーリの方法を用いると4枚目以降のように4つの実数固有値が算出されるようです
2025-01-03 07:39:58 +0000